Giải bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Chia sẻ trang này

Chứng minh các bất đẳng thức:

Chứng minh các bất đẳng thức

a) |a + b| < |1 + ab| với |a| < 1; |b| < 1

b) \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge {1 \over 2}\) với mọi n ∈ N*

c) \({{a + b} \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}\) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

|a + b| < |1 + ab| ⇔ (a + b)² < (1 + ab)²

⇔ a²b² – a² – b² + 1 > 0 ⇔ a²(b² – 1) – (b² – 1) > 0

⇔ (a² – 1)(b² – 1) > 0 (luôn đúng vì a² < 1 và b² < 1)

Vậy với |a| < 1; |b| < 1 thì |a + b| < |1 + ab|

b) Ta có:

\({1 \over {n + 1}} \ge {1 \over {2n}};\,\,\,{1 \over {n + 2}} \ge {1 \over {2n}};\,\,.....;\,\,{1 \over {2n}} = {1 \over {2n}}\)

Do đó:

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge \underbrace {{1 \over {2n}} + {1 \over {2n}} + .... + {1 \over {2n}}}_n \)
\(\Rightarrow {1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge n{1 \over {2n}} = {1 \over 2} \)

Vậy ta được điều phải chứng minh.

c) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên:

\({{a + b} \over {1 + a + b}} = {a \over {1 + a + b}} + {b \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0

Trên đây là bài học "Giải bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 10" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 10 của dayhoctot.com.