Giải câu 16 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

a) \({1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ....\, + {1 \over {n(n + 1)}} < 1\)

Hướng dẫn: Viết: \({1 \over {1.2}} = 1 - {1 \over 2};\,{1 \over {2.3}} = {1 \over 2} - {1 \over 3};\,....\,\,\,\)

b) \({1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{3^2}}} + ....\, + {1 \over {{n^2}}} < 2\)

Đáp án

a) Ta có: \({1 \over {k(k + 1)}} = {{(k + 1) - k} \over {k(k + 1)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\,\,\,\forall k \ge 1\)

Do đó:

\(\eqalign{
& {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ....\, + {1 \over {n(n + 1)}} \cr&= 1 - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} \cr
& = 1 - {1 \over {n + 1}} < 1 \cr} \) 

b) Ta có: \({1 \over {{k^2}}} < {1 \over {k(k - 1)}} \Rightarrow {1 \over {{k^2}}} < {1 \over {k - 1}} - {1 \over k}\,\,\,(k \le 2)\)

Do đó:

\(\eqalign{
& {1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{3^2}}} + ....\, + {1 \over {{n^2}}}< \cr& 1 + (1 - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over {n - 1}} - {1 \over n}) \cr
& \Rightarrow {1 \over {{1^2}}} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{n^2}}} < 2 - {1 \over n} < 2 \cr} \)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật