Giải bài 13 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Cho parabol \((P):{y^2} = 2px.\) Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên  Oy  và  I  là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Giải

 

Giả sử \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\, \in \,\,\,(P)\)  ta có \(y_o^2 = 2p{x_o}\,({x_o} \ne 0)\) . M’ là hình chiếu của M trên Oy nên \(M'(0\,;\,{y_o})\) , khi đó \(I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {IM}  = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM.

Phương trình tham số của IM là 

\(\left\{ \matrix{
x = {x_o}.t \hfill \cr
y = {{{y_o}} \over 2} + {{{y_o}} \over 2}.t \hfill \cr} \right.\)

Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được

\({{y_o^2} \over 4}(1 + {t^2}) = 2p{x_o}t\)

mà \(2p{x_o} = y_o^2\) nên \(y_o^2(1 + {t^2}) = 4y_o^2t\,\,\, \Leftrightarrow \,\,(1 + {t^2}) = 4t\,\,\) ( do \({y_o} \ne 0\)) 

\(\eqalign{
& \,\, \Leftrightarrow \,\,{(t - 1)^2} = 0\,\,\, \cr
& \,\, \Leftrightarrow \,t = 1 \cr} \)                                                       

Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\) .

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật