Giải bài 14 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Cho parabol \((P):{y^2} = {1 \over 2}x.\) Gọi M,N là hai điểm di động trên (P) sao cho \(OM \bot ON\) (M,N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Giải

Giả sử \(M(2y_1^2\,;\,{y_1})\,\, \in \,\,(P)\,,\,\,N(2y_2^2\,;\,{y_2})\,\, \in \,\,(P)\) trong đó \({y_1},\,{y_2}\, \ne 0\) và \({y_1} \ne \,{y_2}\) vì \(\overrightarrow {OM} .\,\overrightarrow {ON}  = 0\) nên \(4y_1^2y_2^2 + {y_1}{y_2} = 0\)

 suy ra \(4{y_1}{y_2} + 1 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{y_1}{y_2} =  - {1 \over 4}\)

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( {2y_2^2 - 2y_1^2\,;\,{y_2} - {y_1}} \right) \)

                    \(= \left( {{y_2} - {y_1}} \right).\left( {2{y_2} + 2{y_1}\,;\,1} \right)\)

Vì \({y_1} \ne \,{y_2}\) nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng MN là \((2{y_1} + 2{y_2}\,;\,1)\) .

Do đó vec tơ pháp tuyến của MN là \(\overrightarrow n  = (1\,;\, - 2{y_1} - 2{y_2})\)

 Phương trình tổng quát của MN là

\(1.(x - 2y_1^2) - (2{y_1} + 2{y_2}).(y - {y_1}) = 0\)

Tìm giao điểm của MN với trục hoành bằng cách thay \(y=0\) vào (*) ta được

\(x - 2y_1^2 + 2y_1^2 + 2{y_1}{y_2} = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x = {1 \over 2}\)

Vậy MN đi qua điểm \(\left( {{1 \over 2}\,;\,0} \right)\) cố định.

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật