Giải bài 6 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(3, 4); B( 6, 0)

a) Nhận xét gì về tam giác OAB ? Tính diện tích của tam giác đó.

b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

c) Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB.

d) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Giải

a) Ta có\(OA = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\,\,\,;\,\,\,OB = \sqrt {{6^2} + 0}  = 6\,\,;\)

\(AB = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\,\)

Tam giác OAB cân tại A. Gọi I là trung điểm của OB ta có I(3, 0) và \(AI = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}}  = 4\) .

Diện tích tam giác OAB bằng \(S = {1 \over 2}.AI.OB = {1 \over 2}.4.6 = 12\) .

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có dạng

\((C):\,{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\)                     

Vì \(O\,,\,A\,,\,B\,\, \in \,\,(O)\) nên 

\(\left\{ \matrix{
c = 0 \hfill \cr
9 + 16 + 6a + 8b + c = 0 \hfill \cr
36\,\,\,\,\,\,\,\, + 12a\,\,\,\,\,\,\,\,\, + c = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{
a = - 3 \hfill \cr
b = - {7 \over 8} \hfill \cr
c = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy  \((C)\,:\,{x^2} + {y^2} - 6x - {7 \over 4}y = 0\)  .

c) Phương trình đường thẳng \(OA\,:\,\,\,{x \over 3} = {y \over 4}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4x - 3y = 0\)

Phương trình đường thẳng \(OB\,:\,\,\,y = 0\)

Phương trình các đường phân giác tại đỉnh O của tam  giác OAB là:

\(\eqalign{
& {{4x - 3y} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \pm {y \over 1}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
4x - 3y = 5y\,\,\,\,\,\,\,({d_1}) \hfill \cr
4x - 3y = - 5y\,\,\,\,({d_2}) \hfill \cr} \right. \cr
&  \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
4x - 8y = 0 \hfill \cr
4x + 2y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
x - 2y = 0 \hfill \cr
2x + y = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Với \({d_1}:x - 2y = 0\,\,\) ta có \(({x_A} - 2{y_A})({x_B} - 2{y_B}) =  - 5.6 =  - 30 < 0\) . Vậy A và B khác phía đối với d1 , do đó d1 là đường phân giác trong góc O của tam giác OAB.

d) Vì tam giác OAB cân tại A nên AI là phân giác trong góc A của tam giác OAB  , ta có \(\overrightarrow {AI}  = (0\,;\, - 4)\) nên x = 3 là phương trình đường thẳng AI.

Tọa độ tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác OAB là nghiệm hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
x - 2y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(J\left( {3\,;\,{3 \over 2}} \right)\) .

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB   là

\(r = d(J,\,AO) = {{\left| {4.3 - 3.{3 \over 2}} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {3 \over 2}\)               

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác OAB là \({(x - 3)^2} + {\left( {y - {3 \over 2}} \right)^2} = {9 \over 4}\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật