Giải bài 7 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng

a) Biết đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.\) Chứng minh rằng phương tích của điểm \(M({x_0};{y_0})\) đối với đường tròn (C) bằng \(x_0^2 + y_0^2 + 2a{x_0} + 2b{y_0} + c.\)

b) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng (gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn).

Giải

a) Đường tròn  (C) có tâm I(-a, -b) ,bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Phương tích của điểm \(M({x_0};{y_0})\) đối với đường tròn (C) là

\(\eqalign{
& {\wp _{{M_{{/_{(C)}}}}}} = M{I^2} - {R^2} \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= {({x_o} + a)^2} + {({y_o} + b)^2} - ({a^2} + {b^2} - c) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x_o^2 + y_o^2 + 2a{x_o} + 2b{y_o} + c \cr} \)

b) Cho hai đường tròn không đồng tâm

\(\eqalign{
({C_1})\, & & :\,\,{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} \cr
({C_2})\, & & :\,\,{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} \cr} \) 

Gọi \(M({x_0};{y_0})\) là điểm có cùng phương tích đối với \(({C_1})\) và \(({C_2})\)  thì

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,x_o^2 + y_o^2 + 2{a_1}{x_o} + 2{b_1}{y_o} + {c_1} = x_o^2 + y_o^2 \cr&+ 2{a_2}{x_o} + 2{b_2}{y_o} + {c_2} \cr
& \Leftrightarrow \,\,2({a_1} - {a_2}){x_o} + 2({b_1} - {b_2}){y_o} + {c_1} - {c_2} = 0\,\,\,(1) \cr} \)

Vì \(({C_1})\) và \(({C_2})\) không đồng tâm nên \({a_1} - {a_2}\) và \({b_1} - {b_2}\) không đồng thời bằng 0 ( tức \({({a_1} - {a_2})^2} + {({b_1} - {b_2})^2} \ne 0\))

Do đó \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên đường thẳng có phương trình:

\(\Delta \,\,:\,\,2({a_1} - {a_2})x + 2({b_1} - {b_2})y + {c_1} - {c_2} = 0\)

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng Δ .

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật