Giải bài 43 trang 214 SGK Đại số 10 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

a) \(\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\)

b) \(\cos {75^0}\sin {15^0} = {{2 - \sqrt 3 } \over 4}\)

c) \(\sin {75^0}\cos {15^0} = {{2 + \sqrt 3 } \over 4}\)

d) \(\cos \alpha \sin (\beta  - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma  - \alpha ) \)

\(+ \cos \gamma \sin (\alpha  - \beta ) = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {75^0}\cos {15^0} = {1 \over 2}(\cos {90^0} + \cos {60^0}) = {1 \over 4} \cr
& \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 2}(cos{60^0} - \cos {90^0}) = {1 \over 4} \cr} \)

Vậy \(\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 2}(\sin {90^0} - \sin {60^0}) \cr
& = {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 3 } \over 2}) = {{2 - \sqrt 3 } \over 4} \cr} \) 

c) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {75^0}\cos {15^0} = {1 \over 2}(\sin {90^0} + \sin {60^0}) \cr
& = {1 \over 2}(1 + {{\sqrt 3 } \over 2}) = {{2 + \sqrt 3 } \over 4} \cr} \)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \alpha \sin (\beta - \gamma )\cr& = {1 \over 2}{\rm{[sin(}}\alpha {\rm{ + }}\beta - \gamma {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{ + }}\gamma {\rm{)]}} \cr
& \cos \beta \sin (\gamma - \alpha ) \cr&= {1 \over 2}{\rm{[}}\sin (\beta + \gamma - \alpha {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\beta - \gamma + \alpha ){\rm{]}} \cr
& \cos \gamma \sin (\alpha - \beta ) \cr&= {1 \over 2}{\rm{[sin(}}\gamma {\rm{ + }}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\gamma {\rm{ - }}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{)]}} \cr} \)

Cộng các vế của ba đẳng thức, ta có:

\(\cos \alpha \sin (\beta  - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma  - \alpha ) \)

\(+ \cos \gamma \sin (\alpha  - \beta ) = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật