Giải câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Chia sẻ trang này

Bài sau

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C).

Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Giải

Giả sử M(x₀, lnx₀) ∈ (C) (x₀ > 0 )

Ta có: \(y' = {1 \over x}\)

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là:

\(y = {1 \over {{x_0}}}(x - {x_o}) + \ln {x_0}\)

Vậy với mọi x ∈ (0,+∞), ta cần chứng minh:

\(\eqalign{
& {1 \over {{x_0}}}(x - {x_0}) + \ln {x_0} \ge \ln x \cr
& \Leftrightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0 \cr} \)

Đặt \(t = {x \over {{x_0}}} > 0\)

Xét hàm số \(g(t) = t – \ln t\) với t > 0

\(\eqalign{
& g' = 1 - {1 \over t} = {{t - 1} \over t} \cr
& g' = 0 \Leftrightarrow y = t = 1 \cr} \)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \(g(t) ≥ 1\) với mọi \(t \in (0, +∞)\)

\( \Rightarrow t - \ln t - 1 \ge 0 \Rightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0\) với mọi \(x > 0\)

Vậy trên \((0; +∞)\) (C) nằm phía dưới đường thẳng (D)

Trên đây là bài học "Giải câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.