Giải câu 10 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Giải các phương trình và hệ phương trình sau

Giải các phương trình và hệ phương trình sau

a) \({81^{{{\sin }^2}x}} + {81^{{{\cos }^2}x}} = 30\)

b) \({\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2\)

c) \({4^{{{\log }_x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0\)

d)

\(\left\{ \matrix{
{2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \hfill \cr
{\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \hfill \cr} \right.\)

Giải

a) Đặt \(t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)\)

Khi đó: \({81^{{{\sin }^2}x}} = {81^{1- {{\cos }^2}x}} = {{81} \over t}\)

Phương trình trở thành:

\(\eqalign{
& {{81} \over t} + t = 30 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 81 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 27 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{3^{4{{\cos }^2}x}} = {3^3} \hfill \cr
{3^{4{{\cos }^2}x}} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4{\cos ^2}x = 3 \hfill \cr
4{\cos ^2}x = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2(1 + \cos 2x) = 3 \hfill \cr
2(1 + \cos 2x) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = {1 \over 2} \hfill \cr
\cos 2x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr
x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right. \cr} \) 

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2 \cr&\Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5 = 9 \cr
& \Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}} - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _{{1 \over 2}}}x = - 1 \hfill \cr
{\log _{{1 \over 2}}}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over {16}};\,2\} \)

c) Điều kiện: x > 0

\(\eqalign{
& {4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.9^{\log x}} = 0 \cr} \) 

Chia hai vế phương trình 4logx ta được:

\(4 - {({3 \over 2})^{\log x}} - 18.{({9 \over 4})^{\log x}} = 0\)

Đặt \(t = {({3 \over 2})^{\log x}}\,\,(t > 0)\) ta có phương trình:

\(18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr
t = - {1 \over 2}\,\,(loai) \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {({3 \over 2})^{\log x}} = {({3 \over 2})^{-2}} \Leftrightarrow \log x = - 2 \cr
& \Leftrightarrow x = {10^{ - 2}} = {1 \over {100}} \cr} \)

d) Điều kiện: x > 0; y > 0

\(\eqalign{
& {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {2^{x - 3y}} = {2^{{3 \over 2}}} \Leftrightarrow x - 3y = {3 \over 2}\,\,\,\,\,(1) \cr
& {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr&\Leftrightarrow {1 \over 2}{\log _3}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr
& \Leftrightarrow {\log _3}{3 \over x} = {\log _3}(9y) \Leftrightarrow {3 \over x} = 9y \Leftrightarrow xy = {1 \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = {3 \over 2} \hfill \cr
xy = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr
({3 \over 2} + 3y)y = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr
3{y^2} + {3 \over 2}y - {1 \over 3} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = {1 \over 6} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(S = {\rm{\{ }}(2,\,{1 \over 6}){\rm{\} }}\)

dayhoctot.com         

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 12

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật