Giải câu 14 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Tính các tính phân sau

Tính các tính phân sau

a) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} \)

b) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}} \)

c) \(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} \)

Giải

a) Đặt \(x = \tan t \Rightarrow dx = {1 \over {{{\cos }^2}t}}dt\)

 

 \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{dt} \over {{{\cos }^2}t({{\tan }^2}t + 1)}}}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {dt}  = {\pi  \over 4}\)

b) Ta có:

\(I = \int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}}  = \int\limits_0^1 {{{dx} \over {{{(x + {1 \over 2})}^2} + {{({{\sqrt 3 } \over 2})}^2}}}} \)

Đặt \(x + {1 \over 2} = {{\sqrt 3 } \over 2}\tan t \Rightarrow dx = {{\sqrt 3 } \over 2}(1 + {\tan ^2}t)dt\)

 

\(I = \int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 3}} {{{{{\sqrt 3 } \over 2}dt} \over {{3 \over 4}}}}  = {4 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}.{\pi  \over 6} = {{\sqrt 3 \pi } \over 9}\) 

c) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}  = {x^2}{e^x}|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx = e - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx\,\,\,\,\,\,\,(*)} } \)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra:

\(\int\limits_0^1 {x{e^x}dx = x{e^x}|_0^1}  - \int\limits_0^1 {{e^x}dx}  = e - {e^x}|_0^1 = 1\) 

Từ (*) suy ra:  \(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}  = e - 2\)

dayhoctot.com                              

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan

Bài 1 trang 7 SGK Hình học 12 Nâng cao

Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4, 6, 8, 10.
Bài 1 trang 7 SGK Hình học 12 Nâng cao
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 12

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật