Giải bài 27 trang 24 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chia sẻ trang này
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 28 trang 24 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x} \) trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\);
b) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {4 - {x^2}} \)
c) \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2;\)
d) \(f\left( x \right) = x - \sin 2x\) trên đoan \(\left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]\).
Giải
a) TXĐ: \(D = \left[ { - 3;1} \right]\); \(f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt {3 - 2x\,} }} < 0\) với mọi \(x < {3 \over 2}\,\)
Hàm số \(f\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\)
Do đó \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} = f\left( { - 3} \right) = 3\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} = f\left( 1 \right) = 1\)
b) TXĐ: \(D = \left[ { - 2;2} \right];f'\left( x \right) = 1 - {x \over {4 - {x^2}}}\) với \(x \in \left( { - 2;2} \right)\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - {x \over {4 - {x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < x < 2 \hfill \cr
4 - {x^2} = {x^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \)
Ta có \(f\left( { - 2} \right) = - 2;f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ;f\left( 2 \right) = 2\)
Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} = 2\sqrt 2 ;\,\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} = - 2\)
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + 1 - {\sin ^2}x + 2 = {\sin ^4}x - {\sin ^2}x + 3\)
Đặt \(t = {\sin ^2}x;0 \le t \le 1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm \(g\left( t \right) = {t^2} - t + 3\) số trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\)
\(g'\left( t \right) = 2t - 1;g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\)
Ta có: \(g\left( 0 \right) = 3;g\left( {{1 \over 2}} \right) = {{11} \over {14}};g\left( 1 \right) = 3\)
Do đó: \(\mathop {\min g\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over {14}};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max g\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} = 3\)
Vậy: \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{11} \over {14}};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = 3\)
d) TXĐ: \(D = \left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]\)
\(f'\left( x \right) = 1 - 2\cos 2x;\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \Leftrightarrow 2x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\)
Với \( - {\pi \over 2} < x < \pi ,f'\left( x \right) = 0\) tại các điểm \( - {\pi \over 6},{\pi \over 6}\) và \({{5\pi } \over 6}\)
Ta có \(f\left( { - {\pi \over 6}} \right) = - {\pi \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2};f\left( {{\pi \over 6}} \right) = {\pi \over 6} - {{\sqrt 3 } \over 2};f\left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\);
.\(f\left( { - {\pi \over 2}} \right) = - {\pi \over 2};f\left( \pi \right) = \pi \)
So sánh năm giá trị trên ta được:
\(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]} = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\) và \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]} = - {\pi \over 2}\)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Chương ii. hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Chương iii. nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Chương iv. số phức
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. khối đa diện và thể tích của chúng
- Chương ii. mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
- Chương iii. phương pháp tọa độ trong không gian
- Ôn tập cuối năm hình học
