Giải bài 36 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra: sin2α = 2sinα cosα

Với số \(α,0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) , xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi 2α , rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn).

a) Tính AM2 bằng hai cách khác nhau để suy ra: cos2α = 1 – 2sin2α

b) Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra: sin2α = 2sinα cosα

c) Chứng minh: \(\sin {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } ;\,\,\,\cos {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \) rồi tính các giá trị lượng giác của các góc \({{3\pi } \over 8}\) và \({{5\pi } \over 8}\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& A{M^2} = \overline {AH} .\overline {{\rm{AA}}} {\rm{' = (}}\overline {AO} + \overline {OH} ).\overline {{\rm{AA}}'} \cr
& = ( - 1 + \cos 2\alpha )( - 2) = 2(1 - \cos 2\alpha ) \cr} \)

Lại có: \(A{M^2} = A{A^2}.si{n^2}\alpha  = 4si{n^2}\alpha \)

Vậy: \(2si{n^2}\alpha  = 1-cos2\alpha \)

b) Ta có: \({S_{A'MA}} = {1 \over 2}AA'.MH = MH = \sin 2\alpha \)

Lại có:

\({S_{A'MA}} = {1 \over 2}A'M.AM = {1 \over 2}A'A\cos \alpha .A'A\sin \alpha  \)

             \(= 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Vậy: \(\sin2α  = 2\sinα \cosα\)

c) Ta có: \(\cos {\pi  \over 4} = 1 - 2{\sin ^2}{\pi  \over 8}\) nên:

 

\(\eqalign{
& {\sin ^2}{\pi \over 8} = {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 2 } \over 2}) = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr
& \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \cr
& \cos {\pi \over 4} = 2{\cos ^2}{\pi \over 8} - 1 \cr&\Rightarrow {\cos ^2}{\pi \over 8} = {1 \over 2}(1 + {{\sqrt 2 } \over 2}) = {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr
& \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \cr
& {{3\pi } \over 8} = {\pi \over 2} - {\pi \over 8} \Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {{3\pi } \over 8} = \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\sin {{3\pi } \over 8} = \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\tan {{3\pi } \over 8} = \cot {\pi \over 8} = \sqrt 2 + 1 \hfill \cr
\cot {{3\pi } \over 8} = \tan {\pi \over 8} = \sqrt 2 - 1 \hfill \cr} \right. \cr
& {{5\pi } \over 8} = {\pi \over 2} + {\pi \over 8} \Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {{5\pi } \over 8} = - \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\sin {{5\pi } \over 8} = \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\tan {{5\pi } \over 8} = - \cot {\pi \over 8} = - \sqrt 2 - 1 \hfill \cr
\cot {{5\pi } \over 8} = - \tan {\pi \over 8} = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật