Giải bài 23 trang 201 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chia sẻ trang này

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α

Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α

a) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4(1 - {{\sin }^2}\alpha )} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } \)

b) \(2(si{n^6}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^6}\alpha {\rm{ }}){\rm{ }}-{\rm{ }}3(co{s^4}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^4}\alpha {\rm{ }})\)

c) \({2 \over {\tan \alpha - 1}} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}}\,\,\,\,(\tan \alpha \ne 1)\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4(1 - {{\sin }^2}\alpha )} = \sqrt {{{(2 - {{\sin }^2}\alpha )}^2}} \cr
& = 2 - {\sin ^2}\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,({\sin ^2}\alpha \le 1) \cr
& \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4(1 - {{\cos }^2})} = \sqrt {{{(2 - {{\cos }^2}\alpha )}^2}} \cr
& = 2 - {\cos ^2}\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,(co{s^2}\alpha \le1) \cr} \)

Vậy \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4(1 - {{\sin }^2}\alpha )} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } \)

\(= {\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}si{n^2}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}1 = {\rm{ }}3\)

b) Ta có:

\(si{n^6}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^6}\alpha \)

\( = {\rm{ }}(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha ){\rm{ }}-{\rm{ }}3si{n^2}\alpha co{s^2}\alpha {\rm{ }}(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha )\)

\( = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}3si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \)

\(co{s^4}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^4}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{(co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^2}\alpha )^2}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \)

\( = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& 2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right) - 3({\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha ) \cr
& = 2 - 6{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha - 3(1 - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha ) \cr
& = 2 - 3 = - 1 \cr} \)

c) Ta có:

\(\eqalign{
& {2 \over {\tan \alpha - 1}} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}}\,\,\,\, \cr&= {2 \over {{1 \over {\cot \alpha }} - 1}} + {{\cos \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}} \cr
& = {{2\cot \alpha } \over {1 - \cot \alpha }} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}} = {{\cot \alpha - 1} \over {1 - \cot \alpha }} = - 1 \cr} \)

Trên đây là bài học "Giải bài 23 trang 201 SGK Đại số 10 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 10" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 10 của dayhoctot.com.