Giải bài 4 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm (A(3;2)) và song song với đường thẳng PQ

Cho hai điểm \(P(4;0),Q(0; - 2)\) .

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(3;2)\) và song song với đường thẳng PQ;

b) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Giải

a) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm  \(A(3;2)\) và song song với đường thẳng PQ

\(\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ do đó: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow 0 \)

Ta chọn \(\overrightarrow n (1; - 2)\)

\(\Delta \) song song với đường thẳng PQ nên véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ cũng là véc tơ pháp tuyến của \(\Delta \)

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) đi qua A(3, 2)  và có véc tơ pháp tuyến  \(\overrightarrow n (1; - 2)\)  là:

\(1.(x - 3) - 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0\)

b) Gọi \(I({x_I};{y_I})\) là trung điểm của PQ

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
{x_I} = {{{x_P} + {x_Q}} \over 2} \hfill \cr
{y_I} = {{{y_P} + {y_Q}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_I} = {{4 + 0} \over 2} \hfill \cr
{y_I} = {{0 + ( - 2)} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_I} = 2 \hfill \cr
{y_I} = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(I(2; - 1)\)

Gọi d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ

Vì d là đường thẳng trung trực của PQ nên d đi qua trung điểm I của đoạn thẳng PQ và vuông góc với PQ

Phương trình đường thẳng d đi qua I(-2, 1) và nhận \(\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến là:

\( - 4.(x - 2) - 2.(y + 1) = 0 \Leftrightarrow  - 4x - 2y + 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\)

.

Các bài học liên quan
Bài 9 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật