Giải bài 21 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
Chia sẻ trang này
Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a ?
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 22 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Bài 24 trang 29 SKG Hình học 12 Nâng cao
- Bài 23 trang 29 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 21. Cho điểm \(M\) nằm trong hình tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ \(M\) tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(M\). Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng \(a\) ?
Giải
Gọi \({H_1},{H_2},{H_3},{H_4}\) lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các mặt phẳng \((BCD) , (ACD) , (ABD) , (ABC)\).
Khi đó \(M{H_1},M{H_2},M{H_3},M{H_4}\) lần lượt là khoảng cách từ điểm \(M\) tới các mặt phẳng đó. Các mặt bên của tứ diện đều có cùng diện tích, ta kí hiệu các diện tích đó là \(S\) và gọi \(h\) là chiều cao của tứ diện đều. Ta có:
\(\eqalign{
& {V_{MBCD}} + {V_{MACD}} + {V_{MABD}} + {V_{MABC}} = {V_{ABCD}} \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 3}S.M{H_1} + {1 \over 3}S.M{H_2} + {1 \over 3}S.M{H_3} + {1 \over 3}S.M{H_4} = {1 \over 3}S.h \cr
& \Leftrightarrow M{H_1} + M{H_2} + M{H_3} + M{H_4} = h \cr} \)
Vậy tổng các khoảng cách từ điểm \(M\) tới bốn mặt của tứ diện đều không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(M\) nằm trong tứ diện đó.
Nếu tứ diện đều có cạnh bằng \(a\), ta tính \(h\).
Gọi \(H\) là trực tâm tam giác đều \(BCD\) và \(M\) là trung điểm của \(CD\).
Ta có:
\(\eqalign{
& {h^2} = A{H^2} = A{M^2} - H{M^2} = {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} - {\left( {{1 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \cr
& \,\,\,\,\,\, = {{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over {12}} = {{2{a^3}} \over 3} \Rightarrow h = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)
Tổng khoảng cách nói trên bằng \({{a\sqrt 6 } \over 3}\).
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Chương ii. hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Chương iii. nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Chương iv. số phức
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. khối đa diện và thể tích của chúng
- Chương ii. mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
- Chương iii. phương pháp tọa độ trong không gian
- Ôn tập cuối năm hình học
