Giải bài 20 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

• Bài học cùng chủ đề:
• Bài 21 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 22 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 24 trang 29 SKG Hình học 12 Nâng cao
• Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Bài 20. Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A, B, C\), cạnh bên \(AA'\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(60^0\).

a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

b) Chứng minh rằng mặt bên \(BCCB'\) là một hình chữ nhật.

c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ \(ABC.A'B'C\) (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).

Giải

a) Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\). Vì \(A’\) cách đều ba đỉnh \(A, B, C\) nên \(A’\) nằm trên trục của \(\Delta ABC\), do đó \(A'O \bot mp\left( {ABC} \right)\)
\(AO\) là hình chiếu của \(AA’\) trên mp \((ABC)\). Do đó \(\widehat {A'AO} = {60^0}\)
Trong tam giác vuông \(A’OA\) ta có: \(\tan {60^0} = {{A'O} \over {AO}} \Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0} = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.\sqrt 3  = a\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là \(V = B.h = {S_{ABC}}.A'O = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.a = {{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}\)
b) Vì \(BC \bot AO \Rightarrow BC \bot \left( {AOA'} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\) hay \(BC \bot BB'\) . Vậy \(BCC’B’\) là hình chữ nhật.
c) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Ta có \(AB \bot \left( {A'HO} \right) \Rightarrow A'H \bot AB\).
Trong tam giác vuông \(A’OH\), ta có: \(A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2} = {a^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right)^2} = {{13{a^2}} \over {12}} \Rightarrow A'H = {{a\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình bình hành \(ABB’A’\) : \({S_{ABB'A'}} = AB.AH = {a^2}{{\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Tương tự \({S_{ACC'A'}} = {{{a^2}\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình chữ nhật \(BCC’B’\) là: \({S_{BCC'B'}} = BB'.BC = AA'.BC = {{AO} \over {\cos {{60}^0}}}.a = {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là: \({S_{xq}} = 2{S_{AA'B'B}} + {S_{BCC'B'}} = {{{a^2}\sqrt {13} } \over {\sqrt 3 }} + {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\left( {\sqrt {13}  + 2} \right)\)

Trên đây là bài học "Giải bài 20 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.

• Từ khóa:
• Lớp 12
• Toán Lớp 12 Nâng Cao
• Môn Toán
• Bài 4. Thể tích của khối đa diện
• Văn mẫu lớp 12