Giải bài 22 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B’C. Gọi M là trung điểm của AA’. Mặt phẳng đi qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Bài 22. Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B’C\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AA’\). Mặt phẳng đi qua \(M, B’, C\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Giải

Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là \(a\), độ dài cạnh bên của lăng trụ là \(b\).
Kẻ đường cao \(CH\) của tam giác \(ABC\) thì \(CH \bot \left( {ABB'A'} \right),CH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Diện tích hình thang \(ABB’M\) là: \({S_{ABB'M}} = {1 \over 2}\left( {AM + BB'} \right)AB = {1 \over 2}\left( {{b \over 2} + b} \right).a = {{3ab} \over 4}\)
Thể tích khối chóp \(C.ABB’M\) là: \({V_{C.ABB'M}} = {1 \over 3}{S_{ABB'M}}.CH = {1 \over 3}{{3ab} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 8}\)
Thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.b = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 4} = 2{V_{C.ABB'M}}\)
Vậy \({V_{C.ABB'M}} = {V_{B'.A'C'CM}}\)
Chú ý: Có thể chứng minh được hai khối chóp \(C.ABB’M\) và \(B’A’C’CM\) có cùng chiều cao và có diện tích đáy bằng nhau nên chúng có thể tích bằng nhau.

Các bài học liên quan
Bài 1 trang 30 SGK Hình học 12 Nâng cao
Bài 2 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao
Bài 3 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao
Bài 5 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao
Bài 6 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao)

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật