Giải bài 64 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Hỏi phải lấy điểm M cách B bao nhiêu để tổng ME + MF = l(l là độ dài cho trước)? Biện luận theo l, a, b và c

Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c.Ta lấy một điểm M trên cạnh BC. Quy M, ta kẻ các đường thẳng ME và MF thứ tự song song với các cạnh AC và AB (E ∈ AB, F ∈ AC). Hỏi phải lấy điểm M cách B bao nhiêu để tổng ME + MF = l(l là độ dài cho trước)? Biện luận theo l, a, b và c

Giải

Đặc x = MB (điều kiện: 0 < x < a)

Theo định lý Ta – lét, ta có:

\(\eqalign{
& {{ME} \over x} = {b \over a} \Rightarrow ME = {{bx} \over a} \cr
& {{MF} \over c} = {{a - x} \over a} \Rightarrow MF = {{c(a - x)} \over a} \cr} \) 

Điều kiện \(ME + MF = l\) cho ta phương trình:

\(l = {{bx} \over a} + {{c(a - x)} \over a} \Leftrightarrow (b - c)x = a(l - c)\,\,(1)\) 

+ Nếu b = c (tức là tam giác ABC cân tại A) thì phương trình (1) vô nghiệm nếu \(l ≠ c\); nghiệm đúng với mọi x nếu \(l = c\). Điều này có nghĩa là:

  _ Khi tam giác ABC cân tại A và \(l ≠ AB\) thì không có điểm M nào trên cạnh BC thỏa mãn điều kiện của tam giác.

- Khi tam giác ABC cân tại A và \(l = AB\) thì mọi điểm M nằm trên cạnh BC đều thỏa mãn điều kiện của tam giác.

+ Nếu b ≠ c (tức là tam giác ABC không cân ở A), thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất \(x = {{a(l - c)} \over {b - c}}\) .

Xét điều kiện 0 < x < a:

\(0 < x < a \Leftrightarrow 0 < {{a(l - c)} \over {b - c}} < a \Leftrightarrow 0 < {{l - c} \over {b - c}} < 1\,\,(2)\)

Với b ≠ c nên có hai trường hợp:

+ Với b > c, ta có: (2) \(⇔ 0 < l – c < b – c ⇔ c < l < b\)

+ Với b < c, ta có: (2) \(⇔ 0 > l – c > b – c ⇔ c > l > b\)

Hai kết quả trên có nghĩa là giá trị \(x = {{a(l - c)} \over {b - c}}\) là nghiệm của bài toán ( điểm M cách B một khoảng bằng \( {{a(l - c)} \over {b - c}}\) khi và chỉ độ dài \(l\) nằm giữa các độ dài b và c)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật