Giải bài 28 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao

Chia sẻ trang này

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng

Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Bài 28. Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng

a) Có một điểm \(G\) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \). Điểm \(G\) như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm \(A, B, C, D\). Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi \(G\) là trọng tâm của từ giác \(ABCD\).

b) Trọng tâm \(G\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tam giác.

c) Trọng tâm \(G\) nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.

Hướng dẫn trả lời

a) Gọi \(O\) là điểm cố định bất kì, ta có

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\,\,4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \cr
& \Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {OG} = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right). \cr} \)

Vậy \(G\) là điểm xác định duy nhất sao cho \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 .\)

Gọi \(I, J\) lần lượt la trung điểm của \(AB, CD\) ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \, \cr
& \, \Rightarrow \,\,2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GJ} = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GJ} = \overrightarrow 0 \, \cr} \)

\( \Rightarrow \,\,G\) là trung điểm \(IJ\)

Tương tự, ta gọi \(H, K\) lần lượt là trung điểm của \(AC, BD\) ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \, \cr
& \, \Rightarrow \,\,2\overrightarrow {GH} + 2\overrightarrow {GK} = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {GH} + \overrightarrow {GK} = \overrightarrow 0 \, \cr} \)

\( \Rightarrow \,\,G\) là trung điểm \(HK\)

Tương tự, ta cũng chứng minh được \(G\) là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tam giác.

Gọi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), ta có

\(\eqalign{
& 3\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \,\,\, \Rightarrow \,3\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GA} = \overrightarrow 0 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {GA} = - 3\overrightarrow {GM} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr} \)

Do đó, \(G, A, M\) thẳng hàng.

Các trường hợp còn lại làm tương tự.Vậy trọng tâm \(G\) nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.

Trên đây là bài học "Giải bài 28 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 10" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 10 của dayhoctot.com.