Giải bài 27 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau.

Bài 27. Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau.

Hướng dẫn trả lời

 

Lấy \(O\) bất kì và gọi \(K, G\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(PRT\) và \(QSU\) , ta có

\(\eqalign{
& 3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OR} + \overrightarrow {OT} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr
& 3\overrightarrow {OK} = \overrightarrow {OQ} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {OU} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} } \right) + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\overrightarrow {OG}  = \overrightarrow {OK} \) hay \(G \equiv K.\)

Vậy hai tam giác \(PRT\) và \(QSU\) có trọng tâm trùng nhau. 

Các bài học liên quan

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật