Giải bài 1 trang 91 SGK Hình học 12
Chia sẻ trang này
Cho hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm.
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 2 trang 91 SGK Hình học 12
- Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12
- Bài 4 trang 92 SGK Hình học 12
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 1. Cho hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)\).
a) Chứng minh \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).
Giải
a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:
\((ABC)\): \({x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\)
Thế các toạ độ của \(D\) vào vế phải của phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta có:
\(-2 + 1 - 1 - 1 = 1 ≠ 0\)
Vậy \(D ∉ (ABC)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, suy ra đpcm.
b) Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có:
\(cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\)
Do đó, ta tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \),\(\overrightarrow {CD} \) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1,1,0)\), \(\overrightarrow {CD} = ( - 2,1, - 2)\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3\)
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
\(\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3\)
\( \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = 45^0\) \( \Rightarrow α = 45^0\)
c) Ta có \(\overrightarrow {BC} = (0; - 1;1),\) \(\overrightarrow {BD} = ( - 2;0; - 1)\)
Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của \((BCD)\) thì:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (-1; -2; 2)\)
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\):
\(-1(x - 0) - 2(y - 1) + 2( z - 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0\)
Chiều cao của hình chóp \(A.BCD\) bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):
\(h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {3 \over 3} = 1\)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
