Giải bài 5 trang 92 SGK Hình học 12
Chia sẻ trang này
Trong hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 6 trang 92 SGK Hình học 12
- Bài 7 trang 92 SGK Hình học 12
- Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 5. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(2x - 2y - z + 9 = 0\). Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn \((C)\).
Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \((C)\).
Giải
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3, -2, 1)\) và bán kính \(R = 10\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) đến mặt phẳng \((α)\) là:
\(d(I, α)\) = \(\left| {{{2.3 - 2.( - 2) - 1 + 9} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }}} \right| = {{18} \over 3} = 6\)
Vì \(d(I, α) < R\) \( \Rightarrow \) Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo đường tròn \((C)\) có phương trình \((C)\):
\(\left\{ \matrix{
2x - 2y - z + 9 = 0 \hfill \cr
{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100 \hfill \cr} \right.\)
Tâm \(K\) của đường tròn \((C)\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) của mặt cầu trên mặt phẳng \((α)\).
Mặt phẳng \(((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2, -2. -1)\).
Đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với \((α)\) nhận \(\overrightarrow n = (2, -2, -1)\) làm vectơ chỉ phương và có phương trình \(d\) :
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2t \hfill \cr
y = - 2 - 2t \hfill \cr
z = 1 - t \hfill \cr} \right.\)
Thế các biểu thức của \(x,y,z\) theo \(t\) vào phương trình của \((\alpha)\) ta được:
\(2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0\)
\(\Rightarrow t=-2\)
Thay \(t = -2\) vào phương trình của \(d\), ta được toạ độ tâm \(K\) của đường tròn \((C)\).
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2.( - 2) = - 1 \hfill \cr
y = - 2 - 2.( - 2) = 2 \hfill \cr
z = 1 - 2.( - 2) = 3 \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow K(-1; 2;3)\)
Ta có: \(I{K^2} = {\rm{ }}{\left( { - 1{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {3{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}36\)
Bán kính \(r\) của đường tròn \((C)\) là:
\({r^2} = {\rm{ }}{R^2} - {\rm{ }}I{K^2} = {\rm{ }}{10^2} - {\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}64\) \( \Rightarrow r= 8\)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
