Giải bài 8 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0,\sin x > x\) với mọi \(x < 0\)

b) \(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\)

c) \(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x > 0\); \(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x<0\).

Giải

a) Hàm số \(f\left( x \right) = x - \sin x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 1 - \cos x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\), từ đó với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) ta có:

\(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow x - \sin x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\). Với \(x \ge {\pi  \over 2}\) thì \(x > 1 \ge \sin x\).

Vậy \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0\)

* Với mọi \(x<0\), áp dụng chứng minh trên ta có:

\(\sin \left( { - x} \right) <  - x \Rightarrow  - \sin x <  - x \Rightarrow \sin x > x\)

Vậy \(\sin x > x\) với mọi \(x<0\).

b) Hàm số \(g\left( x \right) = \cos x + {{{x^2}} \over {2 - 1}}\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm \(g'\left( x \right) = x - \sin x\)

Theo câu a) \(g'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x>0\) nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có

\(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x>0\), tức là \(\cos x + {{{x^2}} \over 2} - 1 > 0\) với mọi \(x>0\)

hay \(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x>0\) (1)

Với mọi x0 nên theo (1) ta có:

\(\cos \left( { - x} \right) > 1 - {{{{\left( { - x} \right)}^2}} \over 2}\, \Leftrightarrow \cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\).

c) Hàm số \(h\left( x \right) = \sin x - x + {{{x^3}} \over 6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x - 1 + {{{x^2}} \over 2} > 0\) với mọi \(x \ne 0\) (câu b)

Do đó \(h\) đồng biến trên \(\mathbb R\) nên ta có:

\(h\left( x \right) > h\left( 0 \right) = 0,\forall x > 0\) và \(h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0\)

Từ đó suy ra: \(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x>0\)

\(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\)với mọi \(x<0\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 12

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật