Giải bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Bài 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\);

b) \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\);

c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\);

d) \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\);

e) \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\);

f) \(f\left( x \right) = x - {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0;2} \right]\);

Giải

a) \(D = \left[ { - 2;3} \right];f'\left( x \right) = 2x + 2;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  x=- 1 \in \left[ { - 2;3} \right]\)

Ta có: \(f\left( { - 2} \right) =  - 5;f\left( { - 1} \right) =  - 6;f\left( 3 \right) = 10\).

Vậy: \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]}  =  - 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} \).

b)

\(D = \left[ { - 4;0} \right];\,f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr
x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( { - 4} \right) =  - {{16} \over 3};f\left( { - 1} \right) =  - {{16} \over 3};f\left( { - 3} \right) =  - 4;f\left( 0 \right) =  - 4\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]}  =  - {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]}  =  - 4\).

c) \(D = \left( {0; + \infty } \right);f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}\)với mọi \(x \ne 0,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

\(x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)

\(x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)}  = 2\). Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

d) \(D = \left[ {2;4} \right];f'\left( x \right) =  - 2x + 2;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\)

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 4;f\left( 4 \right) =  - 4\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]}  =  - 4;\,\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]}  = 4\).

e)

\(D = \left[ {0;1} \right];f'\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr
x = - 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = {{11} \over 3}\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]}  = 2;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]}  = {{11} \over 3}\)

f) \(D = \left( {0;2} \right];f'\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right];f\left( 2 \right) = {3 \over 2}\)

\(\mathop {\,\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]}  = {3 \over 2}\) . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0;2} \right]\).

Các bài học liên quan
Bài 25 trang 23 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Bài 26 trang 23  SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật