Giải bài 6 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

Chia sẻ trang này

a) Tìm tập hợp các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước. b) Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện ABCD

Bài 6

a) Tìm tập hợp các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

b) Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện \(ABCD\) thì \(AB + CD = AC + BD = AD + BC\)

Giải

Mặt cầu tâm \(O\) tiếp xúc với ba cạnh \(AB, BC, CA\) của tam giác \(ABC\) lần lượt tại các điểm \(I, J, K\) khi và chỉ khi \(OI \bot AB\,\,,\,\,OJ \bot BC\,\,,\,\,OK \bot CA\,\,,\,\,OI = OJ = OK\,\, \in \left( * \right)\)

Gọi \(O’\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên mp \((ABC)\) thì các điều kiện (*) tương đương với \(O'I \bot AB\,\,,\,\,O'J \bot BC\,\,,\,\,O'K \bot CA,\,\,O'I = O'J = O'K\) hay \(O’\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

Từ đó suy ra tập hợp các điểm \(O\) là trục của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

Giả sử mặt cầu \((S)\) nội tiếp với các cạnh \(AB, BC, CD, DA, AC, BD\) lần lượt tại \(P, Q, R, S, T, U\). Ta cần chứng minh: \(AB + CD = AC + BD = AD + BC\)

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

\(\eqalign{
& AB + CD = AP + PB + CR + RD \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = AT + BU + CT + DU \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {AT + TC} \right) + \left( {BU + UD} \right) = AC + BD \cr} \)

Vậy \(AB + CD = AC + BD\)

Chứng minh tương tự \(AC + BD = AD + BC\)

Vậy \(AB + CD = AC + BD = AD + BC\).

Trên đây là bài học "Giải bài 6 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.