Giải bài 8 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
Chia sẻ trang này
Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a. a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của hình tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện)
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 9 trang 46 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Bài 10 trang 46 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 8. Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.
a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của hình tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện)
Giải
a)
Gọi I và I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có \(\Delta ABC = \Delta ABD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow CI = DI\)(2 trung tuyến tương ứng)
\(\Delta CID\) cân tại I nên \(IJ \bot AB\).
Gọi O là trung điểm của IJ thì OA = OB và OC = OD.
Vì AB = CD = c nên hai tam giác vuông OIB và OJC bằng nhau, do đó OB = OC.
Vậy O cách đều bốn đỉnh A, B, C, D. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm R = OA.
Ta có: \(O{A^2} = O{I^2} + A{I^2} = {{I{J^2}} \over 4} + {{A{B^2}} \over 4} = {{I{J^2} + {c^2}} \over 4}\)
Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC nên \(C{I^2} = {{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \over 4}\)
Suy ra \(I{J^2} = C{I^2} - C{J^2} = {{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4} = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over 2}\)
Như vậy \({R^2} = O{A^2} = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over 8}\) và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\(S = 4\pi {R^2} = {\pi \over 2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
b)
Các mặt của hình tứ diện là các tam giác bằng nhau (đều có ba cạnh bằng a, b, c) nên các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đó có bán kính r bằng nhau. Các đường tròn đó đều nằm trên mặt cầu tâm (O;R) nên khoảng cách từ tâm O tới các mặt phẳng chứa các đường tròn đó bằng nhau và bằng \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \).
Vậy mặt cầu tâm O, bán kính h là mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
(OA = R, OH = h, HA = r)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Chương ii. hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Chương iii. nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Chương iv. số phức
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. khối đa diện và thể tích của chúng
- Chương ii. mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
- Chương iii. phương pháp tọa độ trong không gian
- Ôn tập cuối năm hình học
