Giải bài 9 trang 46 SGK Hình học 12 Nâng cao

Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, trọng tâm tam giác ABC và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.

Bài 9. Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, trọng tâm tam giác ABC và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.

Giải


Gọi J là trung điểm của AB và \(l \) là đường thẳng qua J vuông góc với mp(SAB) thì \(l\) là trục của tam giác SAB (mọi điểm trên \(l \) đều cách đều S, A, B).

Gọi I là giao điểm của \(l\) với mặt phẳng trung trực đoạn CS thì I cách đều bốn điểm S, A, B, C. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC có tâm I và bán kính R = IA. Ta có:

\({R^2} = I{A^2} = A{J^2} + I{J^2} = {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{SC} \over 2}} \right)^2} = {1 \over 4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {R^2} = \pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Vì \(SC // l \) nên SI cắt CJ tại G và \({{GJ} \over {GC}} = {{IJ} \over {SC}} = {1 \over 2}\) nên G là trọng tâm tam giác ABC. Vậy S, G và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.

Các bài học liên quan
Bài 13 trang 53 SGK Hình học 12 Nâng cao
Bài 16 trang 54 SGK Hình học 12 Nâng cao
Bài 17 trang 59 SGK Hình học 12 Nâng cao
Bài 19 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật