Giải bài 18 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx;\)               b) \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx;\)       

c) \(\int\limits_0^\pi  {{e^x}} \cos xdx;\)         d) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos xdx.} \)

Giải

a) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = {x^5}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {{{x^6}} \over 6} \hfill \cr} \right.\)

 \(\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx = \left. {{{{x^6}} \over 6}\ln x} \right|_1^2 - {1 \over 6}\int\limits_1^2 {{x^5}} dx = \left. {\left( {{{{x^6}} \over 6}\ln x - {{{x^6}} \over {36}}} \right)} \right|_1^2 = {{32} \over 3}\ln 2 - {7 \over 4}\)

b) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x + 1 \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

\(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx = \left. {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx = e} \)

c) Đặt \(I = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx} \)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {e^x} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {e^x}dx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(I = \left. {{e^x}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin {\rm{x}}dx}  =  - \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin {\rm{x}}dx} \) 

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {e^x} \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {e^x}dx \hfill \cr
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(I =  - \left[ {\left. {\left( { - {e^x}\cos x} \right)} \right|_0^\pi  + \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx} } \right] = {e^\pi }\cos \pi  - {e^0}.\cos 0 - I\)

\( \Rightarrow 2I =  - {e^\pi } - 1 \Rightarrow I =  - {1 \over 2}\left( {{e^\pi } + 1} \right)\)      

b) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos xdx = \left. {x\sin x} \right|_0^{{\pi  \over 2}}}  - \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sin {\rm{x}}dx = \left. {\left( {x\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^{{\pi  \over 2}}}  = {\pi  \over 2} - 1\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 12

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật