Giải bài 17 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chia sẻ trang này

Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

Bài 17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {\sqrt {x + 1} dx;} \) b) \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}}} dx;\)

c) \(\int\limits_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt;\) d) \(\int\limits_0^1 {{{5x} \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} dx;\)

e) \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{4x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx;\) f) \(\int\limits_0^{{\pi \over 6}} {\left( {1 - \cos 3x} \right)} \sin 3xdx.\)

Giải

a) Đặt \(u = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {u^2} = x + 1 \Rightarrow 2udu = dx.\)

Đổi cận

\(\int\limits_0^1 {\sqrt {x + 1} } dx = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {u.2udu = 2\int\limits_1^{\sqrt 2 } {{u^2}du} } = \left. {2.{{{u^3}} \over 3}} \right|_1^{\sqrt 2 } = {2 \over 3}\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\)

b) Đặt \(u = \tan x \Rightarrow du = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\)

\(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}}} dx = \int\limits_0^1 {udu = } \left. {{{{u^2}} \over 2}} \right|_0^1 = {1 \over 2}\)

c) Đặt \(u = 1 + {t^4} \Rightarrow du = 4{t^3}dt \Rightarrow {t^3}dt = {{du} \over 4}\)

\(\int\limits_0^1 {{t^3}\left( {1 + {t^4}} \right)} dt = {1 \over 4}\int\limits_1^2 {{u^3}} du = \left. {{1 \over 4}{{{u^4}} \over 4}} \right|_1^2 = {1 \over {16}}\left( {16 - 1} \right) = {{15} \over {16}}\)

d) Đặt \(u = {x^2} + 4 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = {1 \over 2}du\)

\(\int\limits_0^1 {{{5x} \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} dx = {5 \over 2}\int\limits_4^5 {{{du} \over {{u^2}}}} = \left. {{5 \over 2}\left( { - {1 \over u}} \right)} \right|_4^5 = {1 \over 8}\)

e) Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow udu = xdx\)

\(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{4x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx = 4\int\limits_1^2 {{{udu} \over u}} = \left. {4u} \right|_1^2 = 4\)

f) Đặt \(u = 1 - \cos 3x \Rightarrow du = 3\sin 3xdx \Rightarrow \sin 3xdx = {1 \over 3}du\)

\(\int\limits_0^{{\pi \over 6}} {\left( {1 - \cos 3x} \right)} \sin 3xdx = {1 \over 3}\int\limits_0^1 {udu = \left. {{{{u^2}} \over 6}} \right|} _0^1 = {1 \over 6}\)

Trên đây là bài học "Giải bài 17 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.