Giải bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Chia sẻ trang này

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A.

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB' và CC'. Chứng minh rằng

a) \(AI \bot C{C'}\,,\,AJ \bot B{B'}\,\);

b) \(B{C'}\,\, \bot {B'}C\,\,\).

Giải

Ta có \(\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} )\,\,;\,\,\overrightarrow {AJ} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C'}} )\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} ).\,(\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AC} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} ) \cr} \)

Vì \(AB \bot AC\,,\,\,A{B'} \bot A{C'}\,\) nên \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} = 0\)

Mặt khác

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AB.\,A{C'}.\cos \widehat {BA{C'}} \cr
& \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} = A{B'}.\,AC.\cos \widehat {{B'}AC} \cr
& \Rightarrow \,\,\,\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} = 0\,\, \Rightarrow \,\,AI \bot C{C'} \cr} \)

Tương tự \(\overrightarrow {AJ} .\,\overrightarrow {B{B'}} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C'}} ).\,(\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} )\)

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AB} ) =0\cr
& \Rightarrow \,\,AJ \bot B{B'} \cr} \)

b) Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} = (\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} ).\,(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{B'}} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} \cr} \)

\(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} = AB.A{B'}.\cos \widehat {BA{B'}}\)

\(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AC.A{C'}.\cos ({180^0} - \widehat {BA{B'}}) \)

\(= - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}.\)

Do đó: \(\overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} =\overrightarrow 0\)

Vậy \(B{C'} \bot {B'}C\).

Trên đây là bài học "Giải bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 2 lớp 10" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 10 của dayhoctot.com.