Giải bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A.

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB' và CC'. Chứng minh rằng

a) \(AI \bot C{C'}\,,\,AJ \bot B{B'}\,\);

b) \(B{C'}\,\, \bot {B'}C\,\,\).

Giải

 

Ta có \(\overrightarrow {AI}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A{B'}} )\,\,;\,\,\overrightarrow {AJ}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{C'}} )\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} ).\,(\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AC} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} ) \cr} \)

Vì \(AB \bot AC\,,\,\,A{B'} \bot A{C'}\,\) nên \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}}  = 0\)

Mặt khác

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AB.\,A{C'}.\cos \widehat {BA{C'}} \cr
& \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} = A{B'}.\,AC.\cos \widehat {{B'}AC} \cr
& \Rightarrow \,\,\,\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} = 0\,\, \Rightarrow \,\,AI \bot C{C'} \cr} \)

Tương tự \(\overrightarrow {AJ} .\,\overrightarrow {B{B'}}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{C'}} ).\,(\overrightarrow {A{B'}}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AB} ) =0\cr
& \Rightarrow \,\,AJ \bot B{B'} \cr} \)

b) Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} = (\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} ).\,(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{B'}} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} \cr} \)

 \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}  = AB.A{B'}.\cos \widehat {BA{B'}}\)

\(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{C'}}  = AC.A{C'}.\cos ({180^0} - \widehat {BA{B'}}) \)

                    \(=  - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}.\)

Do đó: \(\overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} =\overrightarrow 0\)

Vậy \(B{C'} \bot {B'}C\).

Các bài học liên quan

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật