Giải bài 3 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho

Bài 3. Cho hình bình hành \(ABCD\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.

Hướng dẫn trả lời

Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), ta có

\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2} - 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2(O{A^2} + O{B^2}) + 4O{M^2} \cr} \)

Do đó \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,4O{M^2} = {k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})\).

+) Nếu \({k^2} > 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 4}\left[ {{k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})} \right]} \).

+) Nếu \({k^2} = 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(O\).

+) Nếu \({k^2} < 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật