Giải bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD.

Bài 30. Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng \(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\).

Hướng dẫn trả lời

 

Áp dụng công thức tính trung tuyến, \(MN\) là trung tuyến của tam giác \(BMD\), ta có

\(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) - B{D^2}\,\,\,(1)\)

Tương tự, \(BM, DM\) lần lượt là trung tuyến của tam giác \(ABC, ADC\) nên

\(\eqalign{
& 4B{M^2} = 2(A{B^2} + B{C^2}) - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr
& 4D{M^2} = 2(D{A^2} + C{D^2}) - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

Từ (2), (3) suy ra

\(2(B{M^2} + D{M^2}) = A{B^2}\, + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2}\,\,(4)\)

Thay (4) vào (1), ta có

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,4M{N^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2} - B{D^2} \cr
& \Rightarrow \,\,\,A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2} \cr} \)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật