Giải bài 8 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Chia sẻ trang này

Chứng minh rằng: a)) Nếu vec tơ ...

Bài 8. Chứng minh rằng:
a)) Nếu vec tơ \(\overrightarrow u \) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\), và từ đó nếu các điểm \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|;\)

b) Với mọi số phức z, z', ta có \(\left| {zz'} \right| = \left| z \right|\left| {z'} \right|\) và khi \(z \ne 0\) thì \(\left| {{{z'} \over z}} \right| = {{|z'|} \over {|z|}};\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có \(|z + z'| \le |z| + |z'|.\)

Giải

a) Nếu \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\overrightarrow u \) biểu diễn số phức z thì \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\) và \(|\overrightarrow u | = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) do đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\).

Nếu \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {O{A_1}} \) biểu diễn \({z_2} - {z_1}\) nên \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|.\)

b) \(z=a+bi;\;z'=a'+b'i\) thì \(|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = a{'^2} + b{'^2}\) và \(z.z' = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i\) nên

\(\eqalign{
& |z.z'{|^2} = {(aa' - bb')^2} + {(ab' + a'b)^2} = {(aa')^2} + {(bb')^2} + {(ab')^2} + {(a'b)^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ({a^2} + {b^2})(a{'^2} + b{'^2}) = |z{|^2}.|z'{|^2} \cr
& \Rightarrow |zz'| = |z|.|z'| \cr} \)

Khi \(z \ne 0\) ta có:

\(\left| {{{z'} \over z}} \right| = \left| {{{z'\overline z } \over {|z{|^2}}}} \right| = {1 \over {|z{|^2}}}|z'.\overline z | = {1 \over {|z{|^2}}}.\left| {z'} \right|.\left| {\overline z } \right| = {1 \over {|z{|^2}}}.|z'|.|z| = {{|z'|} \over {|z|}}\)

c) Giả sử \(\overrightarrow u \) biểu diễn z và \(\overrightarrow {u'} \) biểu diễn z' thì \(\overrightarrow u+\overrightarrow {u'} \) biểu diễn z+z'. Ta có:

\(\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z + z'} \right|;\,\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|;\,\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z'} \right|\)

Mà \(\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|\) nên \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)

Dấu "=" xảy ra khi \(z=0\) hoặc \(z'=0\).

Trên đây là bài học "Giải bài 8 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.