Giải bài 61 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao
Chia sẻ trang này
Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 62 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao
- Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao
- Bài 64 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 61. Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu \({v_o} > 0\) từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ \(O\), nghiêng một góc \(\alpha \) với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng \(Oxy\) và tạo với trục hoành \(Ox\) góc \(\alpha \) ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.
\(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y = - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \) ( \(g\) là gia tốc trọng trường).
Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right),\,\left( {{\gamma _\alpha }} \right)\) luôn tiếp xúc với parabol \((P)\) có phương trình là: \(y = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm \((P)\) được gọi là parabol an toàn).
Giải
Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
- {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}} \hfill \cr
- {g \over {v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha = - {g \over {v_o^2}}x \hfill \cr} \right.\)
Nghiệm của phương trình thứ hai của hệ là \(x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\)
Ta có \(x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\) cũng là nghiệm của phương trình thứ nhất của hệ. Vậy với mọi \(\alpha \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) hai parabol luôn tiếp xúc với nhau. Hoành độ tiếp điểm là \(x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\). Tung độ của tiếp điểm là
\(y = - {g \over {2v_o^2}}{\left( {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}} \right)^2} + {{v_o^2} \over {2g}} = {{v_o^2} \over {2g}}\left( {1 - {1 \over {{{\tan }^2}\alpha }}} \right)\)
Điểm \(\left( {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }};{{v_o^2} \over {2g}}\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \right)\) là tiếp điểm của hai parabol với mọi \(\alpha \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Chương ii. hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Chương iii. nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Chương iv. số phức
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. khối đa diện và thể tích của chúng
- Chương ii. mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
- Chương iii. phương pháp tọa độ trong không gian
- Ôn tập cuối năm hình học
