Giải bài 14 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao
Chia sẻ trang này
Chứng minh rằng: a) Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều ; b) Tâm cảc mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương.
Bài 14. Chứng minh rằng :
a) Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều ;
b) Tâm cảc mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương.
Giải
a) Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là tâm của các mặt \(ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, CDD’C’, BCC’B’, ADD’A’\) của khối lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\). Khi đó tám tam giác \(MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP\) là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là \(M, N, P, Q, R, S\) mà mỗi đỉnh có \(4\) cạnh. Vậy đó là khối tám mặt đều.
b) Cho khối tám mặt đều \(SABCDS’\). Gọi \(M, N, P, Q, M’, N’, P’, Q’\) lần lượt là trọng tâm của các mặt \(SAB, SBC, SCD, SAD, S’AB, S’BC, S’CD, S’DA\) thì các tứ giác \(MNPQ, M’N’P’Q’, MNN’M’, PQQ’P’, NPP’N’, MQQ’M’\) đều là hình vuông và mỗi đỉnh \(M, N, P, Q, M’, N’, P’, Q’\) đều là đỉnh chung của 3 cạnh.
Vậy \(MNPQ.M’N’P’Q’\) là khối lập phương.
Chú ý: Giả sử cạnh của khối tám mặt đều là \(a\) thì khối lập phương \(MNPQ.M’N’P’Q’\) là \({2 \over 3}{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 3}\)
dayhoctot.com
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Chương ii. hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Chương iii. nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Chương iv. số phức
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. khối đa diện và thể tích của chúng
- Chương ii. mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
- Chương iii. phương pháp tọa độ trong không gian
- Ôn tập cuối năm hình học
