Giải bài 12 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng trong mỗi trường hợp sa

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau

a) 

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

b) \(\Delta :{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}}\)

c) \(\Delta :5x - 12y + 10 = 0.\)

Giải

a) \(\Delta :y = 1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {0;1} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {n'} \left( {1;0} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy Q(3, 1)

b) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {3; - 4} \right)\) . Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với  nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u \left( {3; - 4} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:

\(\eqalign{
& 3.\left( {x - 3} \right) - 4.\left( {y + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x - 4y - 17 = 0. \cr} \) 

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \)  do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}} \hfill \cr
3x - 4y - 17 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 4x - 3y + 4 = 0 \hfill \cr
3x - 4y - 17 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{67} \over {25}} \hfill \cr
y = - {{56} \over {25}} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(Q\left( {{{67} \over {25}}; - {{56} \over {25}}} \right).\)

c) \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {5; - 12} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n \left( {5; - 12} \right).\) 

Đường thẳng \(\Delta '\)  qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình chính tắc là:

 \({{x - 3} \over 5} = {{y + 2} \over { - 12}} \Leftrightarrow  - 12x - 5y + 26 = 0\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
5x - 12x + 10 = 0 \hfill \cr
- 12x - 5y + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{262} \over {169}} \hfill \cr
y = {{250} \over {169}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(Q\left( {{{262} \over {169}};{{250} \over {169}}} \right).\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 10

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 10 mới cập nhật