Giải bài 51 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao
Chia sẻ trang này
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Chứng minh rằng giao điểm I của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị. c) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 52 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
- Bài 53 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
- Bài 54 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 51
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.
c) Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
\({{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} + m = 0\)
Giải
a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty \) nên \(x = -2\) là tiệm cận đứng.
Ta có: \(y = 2x + 1 + {2 \over {x + 2}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {2 \over {x + 2}} = 0\) nên \(y = 2x + 1\) là tiệm cận xiên
\(\eqalign{
& y' = 2 - {2 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{2\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1} \right]} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1;\,\,y\left( { - 1} \right) = 1 \hfill \cr
x = - 3;\,\,y\left( { - 3} \right) = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng biến thiên:
Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 2\)
b) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là nghiệm của hệ.
\(\left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = 2x + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = - 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(I\left( { - 2; - 3} \right)\)
Công thức đổi trục tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là
\(\left\{ \matrix{
x = X - 2 \hfill \cr
y = Y - 3 \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& Y - 3 = 2(X - 2) + 1 + {2 \over {X - 2 + 2}} \cr
& \Leftrightarrow Y - 3 = 2X - 4 + 1 + {2 \over X} \cr
& \Leftrightarrow Y = 2X + {2 \over X} \cr} \)
Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng.
c) Ta có: \({{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} + m = 0 \Leftrightarrow {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} = - m\)
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị \((C)\) hàm số và đường thẳng \(y = -m\).
Dựa vào đồ thị ta có:
+) \(- m< -7\) hoặc \(–m>1\) \( \Leftrightarrow m > 7\) hoặc \(m< -1\) : phương trình có \(2\) nghiệm;
+) \(-m=-7\) hoặc \(–m = 1 \Leftrightarrow m = 7\) hoặc \(m = -1\): phương trình có \(1\) nghiệm;
+) \(- 7<m< 1 \Leftrightarrow -1 < m < 7\): phương trình vô nghiệm.
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Chương ii. hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Chương iii. nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Chương iv. số phức
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. khối đa diện và thể tích của chúng
- Chương ii. mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
- Chương iii. phương pháp tọa độ trong không gian
- Ôn tập cuối năm hình học
