Giải bài 21 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Tìm số phức B để phương trình bậc hai

Bài 21

a) Giải phương trình: \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0\)

b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + 3i = 0\) có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Giải

a) Nhận xét:\( - 2i = {\left( {1 - i} \right)^2} \Rightarrow  - i = {\left( {{{1 - i} \over {\sqrt 2 }}} \right)^2}\)

Suy ra \(–i\) có căn bậc hai \( \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\)

Ta có \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {z^2} + i = 0 \hfill \cr  {z^2} - 2iz - 1 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

* \({z^2} + i = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - i \Leftrightarrow z =  \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\)

* \({z^2} - 2iz - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow z = i\)

Vậy \(S = \left\{ {i;{{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right); - {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)} \right\}\)

b) Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình

Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: \({z_1}^2 + {z_2}^2 = 8\)

Theo định lí Vi-et ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{z_1} + {z_2} = - B \hfill \cr
{z_1}.{z_2} = 3i \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& {z_1}^2 + {z_2}^2 = 8 \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2} = 8 \cr
& \Leftrightarrow {\left( { - B} \right)^2} - 2.3i = 8 \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3.i + {i^2} \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = {\left( {3 + i} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow B = \pm \left( {3 + i} \right) \cr} \)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 12

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật