Giải bài 12 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao
Chia sẻ trang này
Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng: a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều. b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 13 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Bài 14 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 12. Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng:
a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.
Giải
a)
Gọi \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, BDA, ABC\) của tứ diện đều \(ABCD\) có trọng tâm \(G\).
Ta có \(\overrightarrow {GA'} = - {1 \over 3}\overrightarrow {GA} \)
Gọi \({V_{\left( {G;{{ - 1} \over 3}} \right)}}\) là phép vị tự tâm \(G\) tỉ số \( - {1 \over 3}\) ta có \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là ảnh của \(A, B, C, D\) qua phép vị tự \(V\). Từ đó suy ra \({{A'B'} \over {AB}} = {{B'C'} \over {BC}} = {{C'D'} \over {CD}} = {{D'A'} \over {DA}} = {{A'C'} \over {AC}} = {{B'D'} \over {BD}} = {1 \over 3}\)
Do đó nếu \(ABCD\) là tứ diện đều thì \(A’B’C’D’\) cũng là tứ diện đều.
b) 
Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, CD, AC, BD, AD, BC\) của khối tứ diện đều \(ABCD\). Khi đó, tám tam giác \(MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP\) là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là \(M, N, P, Q, R, S\) mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của bốn cạnh. Vậy đó là khối tám mặt đều.
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
- Chương i. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Chương ii. hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Chương iii. nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Chương iv. số phức
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. khối đa diện và thể tích của chúng
- Chương ii. mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
- Chương iii. phương pháp tọa độ trong không gian
- Ôn tập cuối năm hình học
