Giải bài 6 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Chứng minh rằng: a) Phần thực của số phức z bằng...

Bài 6. Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\), phần ảo của số phức z bằng \({1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right);\)

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z =  - \overline z ;\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có \(\overline {z + z'}  = \overline z  + \overline {z'} ,\,\overline {zz'}  = \overline z .\,\overline {z'} \), và nếu \(z \ne 0\) thì \({{\overline {z'} } \over {\overline z }} = \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} \).

Giải

a) Giả sử \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(\overline z  = a - bi\)

Từ đó suy ra \(a = {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right);\,\,b = {1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right)\)

b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0

   \(\Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow z =  - \overline z \)

c) Giả sử \(z=a+bi;\; z'=a'+b'i\) \((a,b,a',b'\in\mathbb R)\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& \overline {z + z'} = \overline {(a + a') + (b + b')i} = a + a' - (b + b')i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a - bi + a' - b'i = \overline z + \overline {z'} \cr
& \overline {z.z'} = \overline {\left( {a + bi} \right).\left( {a' + b'i} \right)} = \overline {\left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = aa' - bb' - \left( {ab' + a'b} \right)i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a - bi} \right)\left( {a' - b'i} \right) = \overline z .\overline {z'} \cr
& \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} = \overline {\left( {{{z'.\overline z } \over {z.\overline z }}} \right)} = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .\overline {\overline z } = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .z = {{\overline {z'} } \over {\overline z }} \cr} \)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 12

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật