Giải bài 37 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao

Chia sẻ trang này

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

Bài học cùng chủ đề:
Bài 38 Trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao
Bài 39 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao
Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Bài 37. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \(y = x + \sqrt {{x^2} - 1} \) b) \(y = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \)
c) \(y = \sqrt {{x^2} + 4} \) d) \(y = {{{x^2} + x + 1} \over {{x^2} - 1}}\)

Gỉải

a) TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0\)
Ta có tiệm cận xiên \(y = 2x\) (khi \(x \to + \infty \))
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} - x}} = 0\)
Ta có tiệm cận ngang \(y = 0\) (khi \(x \to - \infty \))
b) TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over {\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} + 1}} = - 2\)
Ta có tiệm cận xiên \(y = x -2\) (khi \(x \to + \infty \)).
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} } \over x} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} = - 1\)

\(\eqalign{
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over { - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - x}} \cr
& \,\, = \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over { - \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - 1}} = {{ - 4} \over { - 2}} = 2 \cr} \)

Tiệm cận xiên: \(y = -x + 2\) (khi \(x \to - \infty \)).
c) TXD: \(D =\mathbb R\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4} + x}} = 0\)
Tiệm cận xiên \(y = x\) (khi \(x \to + \infty \))
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }- \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} = - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4} - x}} = 0\)
Tiệm cận xiên \(y = -x\) (khi \(x \to - \infty \))
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over {1 - {1 \over {{x^2}}}}} = 1\)
Tiệm cận ngang: \(y = 1\) (khi \(x \to - \infty \) và \(x \to + \infty \))
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = + \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.

Trên đây là bài học "Giải bài 37 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.