Giải bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

• Bài học cùng chủ đề:
• Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 33 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Bài 34 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao
• Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Bài 31. Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 8 + t \hfill \cr
y = 5 + 2t \hfill \cr
z = 8 - t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 - x} \over 7} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}\).

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Giải

a) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {8;5;8} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {3;1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 7;2;3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = \left( {5;4;7} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;16} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
b) Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua O song song với cả \({d_1}\) và \({d_2}\). \(Mp\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha  \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\).
Rõ ràng \({M_1},{M_2} \notin \left( \alpha  \right)\). Vậy \(\left( \alpha  \right)\) chính là mặt phẳng cần tìm.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \)

d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}\). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: \(P\left( {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 - t} \right),\,Q\left( {3 - 7t'\,;\,1 + 2t'\,;\,1 + 3t'} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 5 - 7t' - t + 2\left( { - 4 + 2t' - 2t} \right) - \left( { - 7 + 3t' + t} \right) = 0 \hfill \cr
- 7\left( { - 5 - 7t' - t} \right) + 2\left( { - 4 + 2t' - 2t} \right) + 3\left( { - 7 + 3t' + t} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 6t' - 6t = 6 \hfill \cr
62t' + 6t = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t' = 0 \hfill \cr
t = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(P\left( {7;3;9} \right)\,,\,Q\left( {3;1;1} \right)\) và do đó, đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình:

\({{x - 3} \over {7 - 3}} = {{y - 1} \over {3 - 1}} = {{z - 1} \over {9 - 1}} \Leftrightarrow {{x - 3} \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z - 1} \over 4}\)

Trên đây là bài học "Giải bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 1 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.

• Từ khóa:
• Lớp 12
• Toán Lớp 12 Nâng Cao
• Môn Toán
• Bài 3. Phương trình đường thẳng
• Văn mẫu lớp 12