Giải bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua ba điểm ; b) Đi qua hai điểm và song song với trục Oz ; c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0; d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ; e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với ) và song song với một mặt phẳng toạ độ ; g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ; h) Đi

Bài 15. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua ba điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\,\,;\,\,N\left( {1; - 2;3} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;1;2} \right)\);

b) Đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {5;2;1} \right)\)và song song với trục Oz ;

c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1; - 2;4} \right),\,\overrightarrow {MP}  = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) =  - 5\left( {2;1;1} \right)\).

Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\). Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình là:

\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\)

b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1;2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên:

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {1; - 4;0} \right)\)

(P) qua \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 4;0} \right)\) nên (P) có phương trình:

\(1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\)

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(x - 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 5;1} \right)\).

\(Mp\left( \beta  \right)\) qua \(A\left( {3;2; - 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha  \right)\) nên \(\left( \beta  \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó \(\left( \beta  \right)\): \(\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\)

d) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;1} \right)\)

\(Mp\left( \alpha  \right)\): \(x - y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m  = \left( {1; - 1;1} \right)\).
\(Mp\left( \beta  \right)\) đi qua A, B và vuông góc với \(mp\left( \alpha  \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0;2;2} \right)\)

Vậy (P): \(2\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\)

e) Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z - c} \right) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0\)

Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

g) Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0,b,0} \right)\,,\,C\left( {0,0,c} \right)\).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

\({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3 \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\)

Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\).

h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\).

Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình :

\(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan

Bài 22 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh: a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.
Bài 22 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 12

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 12 mới cập nhật