Giải bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12

Chia sẻ trang này

Giải Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số

Đề bài

a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 24}} {\tan ({\pi \over 4} - 4x)dx} \) (đặt \(u = \cos ({\pi \over 3} - 4x)\) )

b) \(\int\limits_{{{\sqrt 3 } \over 5}}^{{3 \over 5}} {{{dx} \over {9 + 25{x^2}}}} \) (đặt \(x = {3 \over 5}\tan t\) )

c) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^3}} x{\cos ^4}xdx\) (đặt u = cos x)

d) \(\int\limits_{{{ - \pi } \over 4}}^{{\pi \over 4}} {{{\sqrt {1 + \tan x} } \over {{{\cos }^2}x}}} dx\) (đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x} \) )

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Đặt \(u = \cos ({\pi \over 3} - 4x)\)

b) Đặt \(x = {3 \over 5}\tan t\)

c) Đặt u = cos x

d) Đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x} \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(I=\int\limits_0^{\frac{\pi }{{24}}} {\tan \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{{24}}} {\frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)}}dx} \)

Đặt \(u = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right) \Leftrightarrow du = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} - 4x} \right)dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{2}\\x = \frac{\pi }{{24}} \Rightarrow u =\frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{du}}{{4u}}} = \left. {\frac{1}{4}\ln \left| u \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{1}{4}\left( {\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \ln \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}\ln \sqrt 3 \)

b) Đặt \(x = \frac{3}{5}\tan t \Leftrightarrow dx = \frac{3}{{5{{\cos }^2}t}}dt = \frac{3}{5}\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3 }}{5} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{3}{5} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{5}}^{\frac{3}{5}} {\frac{{dx}}{{9 + 25{x^2}}}} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)dt}}{{5\left( {9 + 25.\frac{9}{{25}}{{\tan }^2}t} \right)}}} \\I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}}{{5.9\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}}dt} = \frac{1}{{15}}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {dt} = \left. {\frac{t}{{15}}} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{{180}}\end{array}\)

c) Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right){{\cos }^4}x\sin xdx} \)

Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow u = 1\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow I = - \int\limits_1^0 {\left( {1 - {u^2}} \right){u^4}du} = \int\limits_0^1 {\left( {{u^4} - {u^6}} \right)du} \\\,\,\,\,\,\,I = \left. {\left( {\frac{{{u^5}}}{5} - \frac{{{u^7}}}{7}} \right)} \right|_0^1 = \frac{2}{{35}}\end{array}\)

d) Đặt \(u = \sqrt {1 + \tan x} \Leftrightarrow {u^2} = 1 + \tan x \Leftrightarrow 2udu = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {u.2udu} = 2\int\limits_0^{\sqrt 2 } {{u^2}du} = 2\left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_0^{\sqrt 2 } = \frac{2}{3}.2\sqrt 2 = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)

dayhoctot.com

Trên đây là bài học "Giải bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12" mà dayhoctot.com muốn gửi tới các em. Để rèn luyện về kỹ năng làm bài thi và kiểm tra các em tham khảo tại chuyên mục "Đề thi học kì 2 lớp 12" nhé.

Nếu thấy hay, hãy chia sẻ tới bạn bè để cùng học và tham khảo nhé! Và đừng quên xem đầy đủ các bài Giải bài tập Toán Lớp 12 của dayhoctot.com.