Giải bài tập trắc nghiệm khách quan trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Chia sẻ trang này

Bài trước

Bài sau

Trong các bài tập dưới đây, hãy chọn một phương án trong các phương án đã cho để để được khẳng định đúng

Ngữ pháp tiếng anh hay nhất

Câu 24 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Hàm số \(f(x) = {e^{{1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}}\)

(A) Đồng biến trên mỗi khoảng \((-∞, 1)\) và \((3, + ∞)\)

(B) Nghịch biến trên mỗi khoảng \((-∞, 1)\) và \((3, + ∞)\)

(D) Nghịch biến trên khoảng \((-∞, 1)\) và đồng biến trên khoảng \((3, + ∞)\)

Giải

Ta có:

\(\eqalign{
& f'(x) = ({x^2} - 4x + 3){e^{{1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}} \cr
& f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Ta có bảng biến thiên:

Chọn (A)

Câu 25 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Hàm số f(x) = sin²x – 2sinx có giá trị nhỏ nhất là:

(A) \( - {1 \over 2}\)

(B) 0

(D) \( - {1 \over 3}\)

Giải

Đặt t = sin x; t ∈ [-1, 1]

f(x) = g(t) = t² – 2t

g’ = 2t – 2 = 0 ⇔ t = 1

g( - 1) = 3

g(1) = -1

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in R} f(x) = - 1\)

Chọn (C)

Câu 26 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + x} \) . Khi đó

(A) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to + \infty \) )

(B) Đường thẳng \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to + \infty \) )

(D) Đồ thị (C) không có tiệm cận xiên (khi \(x \to + \infty \) )

Giải

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{f(x)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[f(x)}}\, - {\rm{ax]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + x} - x) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {\sqrt {{x^2} + x} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)

Vậy \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của (C) khi \(x\to +∞\)

Chọn B

Câu 27 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đồ thị của hàm số y = x³ – x + 1 tiếp xúc với điểm (1, 1) với

(A) Parabol y = 2x²-1

(B) Parabol y = x²

(D) Đường thẳng y = 2x + 1

Giải

Xét f(x) = x³ – x + 1 ; g(x) = x²

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
f(1) = g(1) = 1 \hfill \cr
f'(1) = g'(1) = 2 \hfill \cr} \right.\)

Nên đồ thị hàm số y = x³ – x + 1 tiếp xúc với (P)

y = x² tại (1, 1)

Chọn (B)

Câu 28 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Cho hai số dương a và b. Đặt

\(\left\{ \matrix{
X = \ln {{a + b} \over 2} \hfill \cr
Y = {{\ln a + \ln b} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Khi đó:

(A) X > Y

(B) X < Y

(D) X ≤ Y

Giải

Ta có:

\(\eqalign{
& {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab}\cr& \Rightarrow \ln {{a + b} \over 2} \ge \ln \sqrt {ab} = {1 \over 2}(lna\, + \ln b) \cr
& \Rightarrow X \ge Y \cr} \)

Chọn (C)

Câu 29 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Cho hai số không âm a và b.

Đặt

\(\left\{ \matrix{
X = {e^{{{a + b} \over 2}}} \hfill \cr
Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Khi đó:

(A) X > Y

(B) X < Y

(D) X ≤ Y

Giải

Ta có:

\(Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \ge \sqrt {{e^a}.{e^b}} = {e^{{{a + b} \over 2}}} = X\)

Vậy chọn (D)

Câu 30 trang 215 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Cho (C) là đồ thị của hàm số y = log₂x. Ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = log₂2(x + 3) bằng cách tịnh tiến (C) theo vectơ:

\(\eqalign{
& (A)\,\overrightarrow v = (3,1) \cr
& (B)\,\overrightarrow v = (3, - 1) \cr
& (C)\,\overrightarrow v = ( - 3,1) \cr
& (D)\,\overrightarrow v = ( - 3, - 1) \cr} \)

Giải

Ta có:

log₂2(x + 3) = 1 + log₂ (x + 3)

y = log₂x \(\to\) Tịnh tiến trái 3 đơn vị

y = log₂ (x + 3) \(\to\) Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị \(\to\) y = 1 + log₂ (x + 3)

Chọn (C)

Câu 31 trang 216 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số f(x) = log₅(x² + 1). Khi đó:

(A) \(f'(1) = {1 \over {2\ln 5}}\)

(B) \(f'(1) = {1 \over {\ln 5}}\)

(D) \(f'(1) = {2 \over {\ln 5}}\)

Giải

Ta có:

\(f'(x) = {{2x} \over {{x^2} + 1}}.{1 \over {\ln 5}} \Rightarrow f'(1) = {1 \over {\ln 5}}\)

Chọn (B)

Câu 32 trang 216 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Biết rằng đồ thị của hàm số y = a^x và đồ thị của hàm số y = log_bx cắt nhau tại điểm \(\left( {\sqrt {{2^{ - 1}}} ;\sqrt 2 } \right)\). Khi đó

(A) a > 1 và b > 1

(B) a > 1 và 0 < b < 1

(D) 0 < a < 1 và 0 < b < 1

Giải

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{a^{\sqrt {{1 \over 2}} }} = \sqrt 2 \hfill \cr
{\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _a}\sqrt 2 = \sqrt {{1 \over 2}} > 0 \hfill \cr
{\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 > 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
a > 1 \hfill \cr
0 < b < 1 \hfill \cr} \right.\)

Chọn (B)

Câu 33 trang 216 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số \(f(x) = {{2{x^4} + 3} \over {{x^2}}}\) . Khi đó

(A) \(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} - {3 \over x} + C\)

(B) \(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} + {3 \over x} + C\)

(D)\(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} + {3 \over {2x}} + C\)

Giải

Ta có:

\(\int {f(x)dx = \int {(2{x^2} + {3 \over {{x^2}}})dx = {{2{x^3}} \over 3} - {3 \over x} + C} } \)

Chọn (A)

Câu 34 trang 216 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đẳng thức \(\int\limits_0^a {\cos (x + {a^2})dx = sina} \) xảy ra nếu:

\((A) \;a – π\)

\(\eqalign{
& (B)\,\,a = \sqrt \pi \cr
& (C)\,\,a = \sqrt {3\pi } \cr
& (D)\,a = \sqrt {2\pi } \cr} \)

Giải

Ta có:

\(\eqalign{
& \int\limits_0^a {\cos (x + {a^2})dx = \sin (x + {a^2})|_0^a} \cr&= \sin (a + {a^2}) - \sin {a^2} = \sin a \cr
& \Leftrightarrow \sin (a + {a^2}) = \sin {a^2} + \sin a \cr} \)

Với \(a = \sqrt {2\pi } \Rightarrow \sin (\sqrt {2\pi } + 2\pi ) = \sin 2\pi + \sin \sqrt {2\pi } \)

\( \Leftrightarrow \sin \sqrt {2\pi } = \sin \sqrt {2\pi } \)

Chọn (D)

Câu 35 trang 216 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện:

\(\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx\,\, < e - 2\)

Khi đó:

(A) S = {1}

(B) S = {2}

(D) S = Ø

Giải

Ta có:

\(\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx = \int\limits_1^e {(\ln k - \ln x)dx = (e - 1)\ln k - \int\limits_1^e {\ln xdx} }\)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = dx \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over x}dx \hfill \cr
v = x \hfill \cr} \right.\)

Do đó:

\(\int\limits_1^e {\ln xdx = x\ln x|_1^e} - \int\limits_1^e {dx} = e - (e - 1) = 1\)

Vậy:

\(\eqalign{
& \int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx < e - 2 \Leftrightarrow (e - 1)\ln k - 1 < e - 2 \cr
& \Leftrightarrow {\mathop{\rm lnk}\nolimits} < 1 \Leftrightarrow 0 < k < e \Leftrightarrow k \in {\rm{\{ }}1,\,2\} \cr} \)

Chọn (C)

Câu 36 trang 217 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức

\(\alpha = {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2};\,\beta = z.\overline z + i\left( {z - \overline z } \right).\)

Khi đó:

A. α là số thực, β là số thực. B. α là số thực, β là số ảo.

C. α là số ảo, β là số thực. D. α là số ảo, β là số ảo.

Giải

Giả sử z = a+bi, ta có:

\(\alpha = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 2{a^2}\) vậy α ∈ R

\(\beta = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) + i\left( {a + bi - a + bi} \right)\)

\(= {a^2} + {b^2} - {b^2} = {\rm{ }}{a^2}\in\mathbb R\)

Vậy chọn A.

Câu 37 trang 217 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức

\(\left\{ \matrix{
\alpha = {{{i^{2005}} - i} \over {\overline z - 1}} - {z^2} + {(\overline z )^2} \hfill \cr
\beta = {{{z^3} - z} \over {z - 1}} + {(\overline z )^2} + \overline z \hfill \cr} \right.\)

Khi đó:

(A) α là số thực, β là số thực

(B) α là số thực, β là số ảo

(D) α là số ảo, β là số ảo

Giải

Ta có:

\({i^{2005}} = i \Rightarrow \alpha = {(\overline z )^2} - {z^2} = (\overline z - z)(\overline z + z)\) là số thực

\(\beta = {z^2} + z + {\overline z ^2} + \overline z = {(z + \overline z )^2} - 2z.\overline z + (z + \overline z )\) là số thực

Chọn (C)

Câu 38 trang 217 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Nếu môđun của số phức z bằng r (r > 0) thì môdn của số phức (1 – i)²z bằng:

(A) 4r