Giải câu 30 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Giải các phương trình sau:

Bài 30. Giải các phương trình sau :

a. \(3\cos x + 4\sin x = -5\)

b. \(2\sin2x – 2\cos2x =  \sqrt 2 \)

c. \(5\sin2x – 6\cos^2 x = 13\)

Giải

a. Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\) ta được :

\(\eqalign{
& {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = - 1 \Leftrightarrow \cos x\cos \alpha + \sin x\sin \alpha = - 1 \cr
& \left( {\text{ trong đó }\,\cos \alpha = {3 \over 5}\text { và }\,\sin \alpha = {4 \over 5}} \right) \cr
& \text{ Ta có }\,:\,\cos \left( {x - \alpha } \right) = - 1 \Leftrightarrow x - \alpha = \pi + k2\pi \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = \pi + \alpha + k2\pi ,k \in Z \cr} \)

b. Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \) ta được :

\(\eqalign{& {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x - {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x = {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x\cos {\pi \over 4} - \cos 2x\sin {\pi \over 4} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x - {\pi \over 4} = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x - {\pi \over 4} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi } \cr {x = {{13\pi } \over {24}} + k\pi } \cr} } \right.,k \in \mathbb Z \cr} \) 

c.

\(\eqalign{
& 5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13 \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\left( {1 + \cos 2x} \right) = 13 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\cos 2x = 16 \cr} \) 

Chia cả hai vế cho \(\sqrt {{5^2} - {3^2}} = \sqrt {34} \) ta được :

\({5 \over {\sqrt {34} }}\sin 2x - {3 \over {\sqrt {34} }}\cos 2x = {{16} \over {\sqrt {34} }}\) 

Do \({\left( {{5 \over {\sqrt {34} }}} \right)^2} + {\left( {{3 \over {\sqrt {34} }}} \right)^2} = 1\) nên ta chọn được số \(α\) sao cho :

\(\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {34} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {34} }}\) 

Ta có: \(5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = {{16} \over {\sqrt {34} }} > 1\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật