Giải câu 31 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng
- Bài học cùng chủ đề:
- Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 33 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 34 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 31. Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động
Khoảng cách
lên xuống qua vị trí cân bằng (h. 1.27).
\(h\) từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm \(t\) giây
được tính theo công thức \(h = |d|\) trong đó
\(d = 5\sin6t – 4\cos6t\),
với \(d\) được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng \(d > 0\)
khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, \(d < 0\) khi vật ở phía
dưới vị trí cân bằng. Hỏi :
a. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?
b. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?
(Tính chính xác đến \({1 \over {100}}\) giây).
Giải
Ta có:\(5\sin 6t - 4cos6t = \sqrt {41} \left( {{5 \over {\sqrt {41} }}\sin 6t - {4 \over {\sqrt {41} }}\cos 6t} \right) = \sqrt {41} \sin \left( {6t - \alpha } \right)\) , trong đó số \(α\) được chọn sao cho \(\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {41} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {4 \over {\sqrt {41} .}}\) Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được \(α ≈ 0,675\).
a. Vật ở vị trí cân bằng khi \(d = 0\), nghĩa là \(\sin(6t – α) = 0\)
\( \Leftrightarrow t = {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6}\) (với \(k \in\mathbb Z\))
Ta cần tìm \(k\) nguyên dương sao cho \(0 ≤ t ≤ 1\)
\(0 ≤ t ≤ 1 ⇔ 0 \le {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6} \le 1 \Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi }\)
Với \(α ≈ 0,675\), ta thu được \(-0,215 < k < 1\), nghĩa là . Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là :
\(t \approx {\alpha \over 6} \approx 0,11\) (giây) và \(t = {\alpha \over 6} + {\pi \over 6} \approx 0,64\) (giây)
b. Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi \(|d|\) nhận giá trị lớn nhất.
Điều đó xảy ra nếu \(\sin(6t – α) = ± 1\). Ta có :
\(\sin \left( {6t - \alpha } \right) = \pm 1 \Leftrightarrow \cos \left( {6t - \alpha } \right) = 0 \Leftrightarrow {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6}\)
Ta tìm k nguyên dương sao cho \(0 ≤ t ≤ 1\)
\(\eqalign{
& 0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6} \le 1 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } - {1 \over 2} \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi } - {1 \over 2} \cr} \)
Với \(α ≈ 0,675\), ta thu được \(-0,715 < k < 1,2\); nghĩa là \(k \in {\rm{\{ }}0;1\} \). Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là :
\(t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} \approx 0,37\,\left( {giay} \right)\,va\,t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + {\pi \over 6} \approx 0,90\,\left( \text{giây} \right)\)
dayhoctot.com
- Chương i. hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
- Chương ii. tổ hợp và xác suất
- Chương iii. dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân
- Chương iv. giới hạn
- Chương v. đạo hàm
- Ôn tập cuối năm đại số và giải tích
- Chương i. phép dời hình và đồng dạng trong mặt phẳng
- Chương ii: đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. quan hệ song song
- Chương iii: vectơ trong không gian. quan hệ vuông góc
- Ôn tập cuối năm hình học