Giải câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài trước
Bài sau  

Giải các phương trình sau:

Bài 41. Giải các phương trình sau :

a.  \(3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\)

b.  \(3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x - 4{\cos ^2}2x = 2\)

c.  \(2{\sin ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right){\cos ^2}x = - 1\)

Giải

a. Cách 1 : (chia hai vế cho \({\cos ^2}x\)). Chú ý rằng những giá trị của x mà \(\cos x = 0\) không là nghiệm của phương trình. Do đó :

\(\eqalign{& 3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = 1} \cr {\tan x = - {1 \over 3}} \cr} } \right. \cr} \) 

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là :

\(x = {\pi \over 4} + k\pi \,va\,x = \alpha + k\pi \,\text{ trong đó }\,\tan \alpha = - {1 \over 3}\)

Cách 2 : (dùng công thức hạ bậc)

\(\eqalign{& 3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow {{3\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} - \sin 2x - {{1 + \cos 2x} \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow - 2\sin 2x - 4\cos 2x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x + 2\cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 5 }}\sin 2x + {2 \over {\sqrt 5 }}\cos 2x = {1 \over {\sqrt 5 }} \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = \cos \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) \cr & \text{ trong đó }\,\alpha \,\text{ là số thỏa mãn }\,\sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\,\text{ và }\,\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}.\text{ Ta có }\,: \cr & \cos \left( {2x - \alpha } \right) = \cos \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = \pm \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right.\left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \)

b. Những giá trị của x mà \(\cos2x = 0\) không là nghiệm phương trình. Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}2x\) ta được :

\(\eqalign{& 3{\tan ^2}2x - \tan 2x - 4 = 2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}2x - \tan 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan 2x = - 2} \cr {\tan 2x = 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\beta \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.\,\text{ trong đó }\,\tan 2\alpha = - 2\,\text{ và }\,\tan 2\beta = 3 \cr} \) 

c. Với giá trị \(x\) mà \(\cos x = 0\) không là nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được :

\(\eqalign{& 2{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 - 1 = - \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = - {{\sqrt 3 } \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)

Bài trước
In bài này
Bài sau  
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
Học tốt các môn khác lớp 11

Bài học nổi bật nhất

Đề thi lớp 11 mới cập nhật