Giải bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Chia sẻ trang này
Giải bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12
- Bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12
- Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Đề bài
Cho hàm số \(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) có đồ thị là \((C_m)\), \(m\) là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\)
b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\)
- Có cực trị trên khoảng \((-1, +∞)\)
c) Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
b) Hàm số đồng biến trên \( (a; \, b) \Leftrightarrow y' \ge 0\;\;\forall x \ne \left( {a;\;b} \right).\)
+) Hàm số đồng biến trên \( (a; \, b) \Leftrightarrow y' \le 0\;\;\forall x \ne \left( {a;\;b} \right).\)
c) Đồ thị hàm số \((C_m)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m \Leftrightarrow y=f(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
Lời giải chi tiết
\(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) \((C_m)\). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.
a) Với \(m = 1\) ta có hàm số: \(y = 2x^2+ 2x.\)
Tập xác định \(D =\mathbb R\)
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y'=4x+2.\)
\(\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -{{ 1} \over 2} \)
+) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-{1\over2};+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty; -{1\over2})\)
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-{1\over2}\); \(y_{CT}=-{1\over 2}\)
+) Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \)
Bảng biến thiên:
*Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((0;0)\)
b) Tổng quát \(y = 2x^2+ 2mx + m -1\) có tập xác định \(D = \mathbb R\)
Có \(y' = 4x + 2m = 0 \Rightarrow y'=0 \)
\(\Leftrightarrow 4x+2m=0 \Leftrightarrow x = -{{ m} \over 2}\)
Suy ra \(y’ >\) 0 với \(x > -{{ m} \over 2};y' < 0\) với \(x < -{{ m} \over 2}\) , tức là hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ;-{{ m} \over 2})\) và đồng biến trên \((-{{ m} \over 2}; + \infty )\)
i) Để hàm số đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\) thì phải có điều kiện \(( - 1;{\rm{ }} + \infty ) \subset (-{{ m} \over 2}; + \infty )\)
\( \Leftrightarrow -{{ m} \over 2} \le - 1 \Leftrightarrow m \ge 2\)
ii) Hàm số đạt cực trị tại \(x = -{{ m} \over 2}\) .
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng \((-1; +∞)\), ta phải có:
\(\eqalign{
& {{ - m} \over 2} \in ( - 1, + \infty ) \cr
& \Leftrightarrow -{{ m} \over 2} > - 1 \Leftrightarrow 1 > {m \over 2} \Leftrightarrow m < 2 \cr} \)
c) \((C_m)\) luôn cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \(x = -{{ m} \over 2}\)
\(⇔\) phương trình \(2x^2+ 2mx + m – 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: \(Δ’ = m^2– 2m + 2 = (m-1)^2+ 1 > 0 ∀m\)
Vậy \((C_m)\) luôn cắt \(O x\) tại hai điểm phân biệt.
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
