Giải bài 3 trang 99 SGK Hình học 12
Chia sẻ trang này
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.
- Bài học cùng chủ đề:
- Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12
- Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12
- Bài 6 trang 100 SGK Hình học 12
- Ngữ pháp tiếng anh hay nhất
Bài 3. Cho mặt cầu \((S)\) tâm \(O\) bán kính \(r\). Hình nón có đường tròn đáy \((C)\) và đỉnh \(I\) đều thuộc \((S)\) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu \((S)\). Gọi \(h\) là chiều cao của hình nón đó.
a) Tính thể tích của hình nón theo \(r\) và \(h\).
b) Xác định \(h\) để thể tích của hình nón là lớn nhất.
Giải
a) Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó \(AH\) là bán kính đáy hình nón, \(SH\) là chiều cao hình nón \(SH = h\), \(SS'\) là đường kính hình cầu \(SS' = 2r\).
Tam giác \(SAS'\) vuông tại đỉnh \(A\), và \(AH\) là đường cao nên:
\(AH^2= SH.S'H\) \( \Rightarrow AH^2 = h(2r - h)\)
\(V\)nón = \({1 \over 3}\pi .A{H^2}.SH \Rightarrow V\)nón = \({1 \over 3}\pi {h^2}(2r - h)\)
b) Ta có:
\(V\)nón max \( \Leftrightarrow \) \(2V\)nón = \({\pi \over 3}.{h^2}(4r - 2h)\) lớn nhất.
Ta có \(h^2(4r - 2h) = h.h.(4r - 2h)\)\( \le {\left( {{{h + h + 4r - 2h} \over 3}} \right)^3} = {\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3}\)
Dấu bằng xảy ra thì \(V\)nón lớn nhất.
Khi đó \(h = 4r - 2h\) \( \Rightarrow h = {4 \over 3}r\)
và \(V\)nón max = \({\pi \over 6}{\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3} = {{32} \over {81}}\pi {r^3}\)
Chia sẻ trang này
Các bài học liên quan
Các chương học và chủ đề lớn
